Matemática básica Ejemplos

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$| y - 1 | y = \frac{2}{y} y$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Reordena los factores en $| y - 1 | y$ .

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$y | y - 1 | = \frac{2}{y} y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y | y - 1 | = 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $y | y - 1 | = 2$ por $y$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $y | y - 1 | = 2$ por $y$ .

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y | y - 1 |}{y} = \frac{2}{y}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $| y - 1 |$ por $1$ .

$| y - 1 | = \frac{2}{y}$

Paso 3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm \frac{2}{y}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 1 = \frac{2}{y}$

Paso 3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{2}{y} + 1$

Paso 3.3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, y, 1$

Paso 3.3.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.3.4

Multiplica cada término en $y = \frac{2}{y} + 1$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.4.1

Multiplica cada término en $y = \frac{2}{y} + 1$ por $y$ .

$y \cdot y = \frac{2}{y} y + 1 y$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{2}{y} y + 1 y$

Paso 3.3.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 + 1 y$

Paso 3.3.4.3.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} = 2 + y$

Paso 3.3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.5.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y = 2$

Paso 3.3.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y - 2 = 0$

Paso 3.3.5.3

Factoriza $y^{2} - y - 2$ con el método AC.

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Paso 3.3.5.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 3.3.5.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y - 2) (y + 1) = 0$

Paso 3.3.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 1 = 0$

Paso 3.3.5.5

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.3.5.5.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 3.3.5.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 3.3.5.6

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.3.5.6.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 3.3.5.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 3.3.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 2) (y + 1) = 0$ verdadera.

$y = 2, - 1$

Paso 3.3.6

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 1 = - \frac{2}{y}$

Paso 3.3.7

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{2}{y} + 1$

Paso 3.3.8

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.8.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, y, 1$

Paso 3.3.8.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.3.9

Multiplica cada término en $y = - \frac{2}{y} + 1$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.9.1

Multiplica cada término en $y = - \frac{2}{y} + 1$ por $y$ .

$y \cdot y = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Paso 3.3.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.9.2.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} = - \frac{2}{y} y + 1 y$

Paso 3.3.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.9.3.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.9.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{y}$ al numerador.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Paso 3.3.9.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = \frac{- 2}{y} y + 1 y$

Paso 3.3.9.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = - 2 + 1 y$

Paso 3.3.9.3.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} = - 2 + y$

Paso 3.3.10

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.10.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y = - 2$

Paso 3.3.10.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y + 2 = 0$

Paso 3.3.10.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.10.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5

Simplifica.

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Paso 3.3.10.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.10.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 3.3.10.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5.1.3

Resta $8$ de $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5.1.4

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.10.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Paso 3.3.10.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Paso 3.3.11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 2, - 1, \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$